引理

1. 是大于 的整数。证明： 当且仅当 是大于 的合数。

题目

1. 表示正整数 的正约数之和。证明： 是奇数当且仅当 是完全平方数或 是完全平方数。

2. 证明：对于任意正整数 ，存在 个连续的合数。

3. 设整数 ， 表示 的正约数的个数。证明：。

4. 设 是大于 的素数，证明：。

5. 设 是素数， 是正整数，求所有的数组 ，使得 。

题目

设 是正整数，，证明：。

证明

假如 是奇数，那么 ，但显然 ，矛盾。所以 只能是偶数。

因为 是偶数，所以 ，所以 必定存在一个形如 的素因子 。若 ，则 ，即 是模 的二次剩余，矛盾。所以 ，所以 。

题目

将素数从小到大排列成 ，证明：对于任意正整数 ，

证明

显然，当 时，，因此：

所以，

注

该无穷级数收敛于 。

题目

证明：

(1) 存在无穷多的正整数 ，使得 ；

(2) 存在无穷多的正整数 ，使得 。

证明

(1)

令 ，其中 是大于 的整数，则

。

显然，，所以 。

(2)

我们先说明这样的 怎么构造。熟知形如 的素数有无穷多个，且对于任意 的素数 ， 有解。我们令 是满足 的解，则有 且 ，所以 。

接下来我们说明这样的 有无穷多个。假设满足上面条件的 只有有限个 ，则对于任意 的素数 ，。显然右边是一个有限大的数，其素因子也只有有限多个，矛盾。

题目

求所有的正整数 ，使得对于任意 的正整数 ，都有 。

解答

我们首先证明，当 时， 不满足题意。设 是 的最大正整数，则 。若 满足题意，则 且 ，所以 。注意到：

接下来简要说明该不等式是如何得到的：不等式右半边是显然的，而左半边等价于 ，看作关于 的二次不等式，就很容易证明。

根据该不等式可知，，矛盾。所以 。接下来逐个验证，就可以得到所有满足题意的 是 。

题目

设 是互素的正整数。若存在非负整数 ，使得 ，则称 是好数，否则称 是坏数。证明：最大的坏数是 。

证明

我们先证明 是坏数。假设 是好数，则存在非负整数 ，使得 ，所以 ，又因为 和 互素，所以 ，所以 ，所以 。同理可得，。所以 ，矛盾。

然后我们证明任意大于 的数都是好数。我们可以直接将解构造出来。注意到

所以 。因为 和 互素，所以一定存在 ，使得 ，且 。令 ，我们接下来证明 是满足题意的一组解。

只需要证明 。假如 ，则 ，又因为 ，所以 。所以 ，所以 ，矛盾。

题目

设 是正整数，证明： 的充分必要条件是 是奇数。

证明

方向

若 是奇数，则对于任意 ，有 。两两配对后，。

方向

若 是偶数，设 ，其中 是奇数。我们接下来证明：。

对于 中的偶数项 ，其 的幂次至少为 ，而 ，所以 。

接下来考虑奇数项 。根据欧拉定理，。其中 ，所以 。

结合上述分析，我们有：

而显然 ，所以 ，所以 。

题目

设 都是素数，解方程：

证明

显然 ，所以 是奇数，所以 是偶数，所以 ，所以 是费马素数。熟知，费马素数的必要条件是 ，所以 ，所以 。

综上所述，方程的唯一解是 。

题目

设 是 型的素数，且 ，其中 是整数。证明： 且 。

证明

用反证法。假设 ，则模 下 存在逆元 ，所以

因为 是 型的素数，所以 不是模 的二次剩余，矛盾。综上所述，。同样地，。证毕。

题目

都是正整数，且 。证明：对于任意正整数 ， 都是合数。

证明

设

其中 。则存在正整数 ，使得 ，，，。所以

证毕。

题目

都是正整数，证明：若 ，且

则存在整数 ，使得 且 。

证明

条件可变形为 ，所以 ，又因为 ，所以 。设 ，则 ，所以 。综上所述，存在整数 ，使得 且 。

评注

这个题目很简单，但是这个结论是有用的。

题目

（欧拉）证明： 是偶完全数，等价于

其中 和 都是素数。

证明

方向

显然 和 互素，因此

方向

设 ，其中 是奇数。由于 是偶完全数，因此 ，又因为 ，所以

因为 ，所以存在整数 ，使得 ，，即

根据问题（38）的结论，有

两个不等号的取等条件分别是： 和 是素数。

熟知：当 是素数时， 必定是素数（不然可以因式分解证明是合数），令 ，则 ，证毕。

题目

设 是正整数， 表示 的正约数之和。证明：，并给出等号成立的充分必要条件。

证明

因为若 ，则 ，所以

要想取等，则对任意 ，有 。令 ，就得到 ，所以 。反过来，若 ，则 。综上所述，等号成立的充分必要条件是 。

题目

设数列 的每一项都是整数，且 ，其中 和 是正实数，且 。证明： 一定是常数列。

证明

注意到

设 ，则 。若 ，则对任意 ，都有 。一个非负的整数列不可能总是严格单调递减的，因此 ，所以 ，此时容易证明 是常数列。

题目

设 是大于 的整数，希望找到 的一个排列 ，使得对于任意 ， 和 都是合数。证明：这样的排列存在当且仅当 。

证明

首先证明 时不存在这样的排列。显然排列中一定存在相邻两数 和 是一奇一偶。不妨设 ，因为 ，且 是奇数，所以只能是 ，所以 只能是 或者 ，此时 都是质数。因此 时不存在这样的排列。

接下来给出 时符合条件的数列的构造方法。将 中除了 的奇数从小到大排列，记作 。将 中除了 的偶数从小到大排列，记作 。

如果 是奇数，设 ，则将 重新排列成：

题目

设 是大于 的整数， 是 的所有正约数的和， 是 的正约数的个数，证明：

（1）

（2）

证明

（1）

熟知：

证毕。

（2）

由柯西不等式：

熟知：

证毕。

题目

是奇素数，证明：

（1）

（2）

证明

（1）

根据费马小定理，，所以

因为 是奇素数，所以 是整数，所以

（2）

这回用费马小定理不管用了，我们需要用二项式定理展开 ：

当 时，

当 时，

是 的倍数。

当 时，显然

也是 的倍数。

所以

也就是

所以

显然 和 互素，所以可以同时除以 ，证毕。

题目

证明：若 互素，则

证明

不妨设 ，我们只需要证明：

然后由辗转相减法即可得到结果。

设 ，。

注意到：

首先证明 。因为 且 ，根据上面的等式，，所以 。

然后证明 。因为 且 ，根据上面的等式可得 。因为 和 互素，所以 ，因此 和 也互素，所以 ，所以 。

综上所述，，证毕。

题目

众所周知，根据费马大定理，当整数 时，方程

没有正整数解。

现在我们来考虑一个类似的问题。请证明：当整数 时，方程

存在无穷多组正整数解。

证明

可以直接构造出来，令 是任意正整数，那么 ， 是方程的一个解。

注记

构造的思考过程是这样的，首先令 ，，代入方程得到 ，所以 。这里 和 是关于 的函数。注意到当 的时候，右边为0，所以 时，，这样就提示我们令 ，从而得到 。至于 的部分是类似的。

题目

设 为素数，解方程：

解答

首先移项并因式分解，得到：

因为 是素数，所以 必须整除右边的某一项，所以 小于或等于右边的最大项 。

设 ，则 ，所以 是单调递增的。所以

所以 ，即 或 。代入验证即可得到唯一解是 。

题目

设正整数 满足 ，证明：

证明

所以只需要证明：

由基本不等式得到：

所以只需要证明：

为了方便叙述，设 ，。

，，又因为 ，所以 。

，，所以 ，所以 ，证毕。

题目

若 是正整数，且 ，证明：。

证明

若 ，则 且 ，所以 。

又因为 ，所以 ，矛盾。

题目

证明：两个素数之间的距离可以是任意大，也就是说，给定正整数 ，存在连续的 个正整数，满足它们都是合数。

证明

我们可以直接构造出来，考虑以下 个连续的正整数：

显然有 且 ，所以 都是合数。

题目

求 的所有整数解。

解答

设 和 ，则原方程可以改写为：

如果 ，则 ，不难验证这时方程成立，所以 是一个解，其中 是任意整数。

若 ，则可以两边同时除以 ，得到：

由于若 是一组解，则 也是一组解，所以我们可以只考虑 的情况。

将上式视为关于 的二次方程，则其判别式为：

所以 ，其中 是非负整数。

用求根公式得到：

显然，当 时，，不满足条件，所以 ，这时解得 ，代入 ，得到 ，所以 ，逐个代入，得到 。

题目

若一个整数可以表示成两个正整数的平方和，我们就说这个整数具有性质甲。

证明：

1. 不存在连续的4个整数，满足它们都具有性质甲。
2. 存在无穷多组连续的3个整数，满足它们都具有性质甲。

证明

1

整数 具有性质甲的必要条件是 ，而连续的4个整数中必然存在一个整数 满足 ，所以不存在连续的4个整数满足它们都具有性质甲。

2

考虑三元组 ，其中 是正整数。

，所以 具有性质甲。

，所以 具有性质甲。

题目

设正整数 的正因数从小到大依次为 ，证明：

证明

显然有 ，所以原不等式等价于

因为 ，所以

所以

证毕。

题目

设 表示正整数 的正因数的个数，请问是否对于任意正整数 ，都存在正整数 使得 ？

（提示：答案是否定的，最小的反例：）

解答

答案是否定的，我们来证明对于 ，不存在正整数 使得 。

因为 ，所以设 ，其中 ，，且 。所以 ，又显然 ，所以

如果 ，则 ，所以 ，逐个验证可知此时无解。

如果 ，则 ，所以 ，逐个验证可知此时无解。

如果 ，则 ，所以 ，逐个验证可知此时无解。

如果 ，则 ，矛盾。

综上所述，对于 ，不存在正整数 使得 。

题目

设 为素数， 是大于 的整数，解方程：

解答

重新整理方程，得到

记 ，，则 ，且 。因为 ，所以 。还有一个等式：

若 ，则 ，所以 ，此时 ，不满足题意，所以 ，所以 。又因为 ，所以 。

因为 ，所以

即 。因为 ，所以 。所以 ，所以 。

如果 ，则 ，，代入 的表达式，得到

若 ，则 ，不满足题意；若 ，则 是奇数，从而 不是整数，不满足题意。所以 不满足题意，即 。

若 ，则 ，即 ，所以 ，此时 ，不满足题意。

题目

设 是不全为 的非负整数， 是正整数，证明：若 且 ，则 。

证明

因为 ，所以存在整数 使得 。

因为 ，所以 ，其中 是整数。将其代入上式，得到

回忆 Bézout 定理：若存在整数 使得 ，则 。因此，。

同理，可以证明 。

题目

如果一个整系数多项式 满足，对于任意的整数 ， 都有整数解，那么就称 是“好的”。证明：不存在好的二次多项式。

证明

显然常数项不影响一个多项式是否是好的，所以我们不妨研究 。

引理：假如存在整数 ，满足 且 ，那么显然 不是好的。

如果 ，则 ，但是 ，所以 不是好的。

如果 ，则 ，但是 ，所以 不是好的。

综上所述，不存在好的二次多项式。

补充

AI 说，好的多项式只有 和 ，其中 是任意整数。下面是 AI 提供的不存在好的二次及以上多项式的证明：

题目

求所有的正整数 ，使得方程 有正整数解。

解答

不妨设 ，则 ，所以 。

把原方程看作关于 的二次方程，整理得到

设 是方程最小的整数解，则根据韦达定理，另一个解 满足

根据 的等式，我们知道 一定是整数，所以 是方程的另一个整数解。又因为 是最小的整数解，所以 ，因此 ，所以 。

综合前面得到的 ，我们得到 ，所以 。

若 ，则 ，所以 或 。当 时，

所以 ，所以 ，此时 ；当 时，

所以 ，所以 ，此时 。

题目

求所有的具有下列性质的正整数 ：对于 的任意正因数 ，。

解答

容易验证 以及 为奇素数的时候满足题意， 不满足题意。

下面用反证法证明 是合数的时候不满足题意。设 ，其中 ，则 。，若 ，则有 和 ，显然 ，所以 ，这说明 ，但是 ，矛盾。

综上所述，所有满足题意的正整数 是 以及所有的奇素数。

题目

证明：对于任意正整数 ，

证明

对于任意 ，存在整数 使得

则 。这说明，总能找到一个 使得 ，这就导致 的素因子幂次不会超过 ，所以 。

题目

证明：对于任意大于 的整数 ， 都是合数。

提示：。

证明

若 是偶数，显然 也是偶数，因此是合数。

若 是奇数，设 ，则

现在只需要证明 。为了看清楚一些，我们设 ，，则需要证明 。显然 ，因此该不等式成立。证毕。

题目

证明：对于任意正整数 ， 都是合数。

证明

若 ，则 ，所以 。

若 ，则 ，所以 ，所以 。

若 ，则 ，所以 ，所以 。

综上所述， 一定是合数。

题目

对于怎样的 ，存在连续的 个正整数，使得其中最大的整除其余的最小公倍数？

（提示：答案是所有 。）

解答

若 ，设连续的三个正整数为 ，则 。因为 ，所以 ，矛盾。

若 且 为偶数，考虑数列：

则 。因此该数列满足题意。

若 且 为奇数，考虑数列：

则 。因此该数列满足题意。

题目

设 是素数， 是大于 的正整数，解方程：

解答

由奇偶性分析可知， 是一奇一偶，所以其中必有一个是 。

情况1：

此时方程变为 。

假如 是偶数，则 是完全平方数，此时 ，而 ，矛盾。

假如 是奇数，则 ，其中 是奇数，但是它又必须是 的幂，所以只能是 ，此时 ，矛盾。

综上， 时无解。

情况2：

此时方程变为 。

若 是奇数，则 ，其中 有 个项，且每项都是奇数，所以它是大于 的奇数，不可能是 的幂，矛盾。

题目

设 是正整数，，证明：

是整数。

提示：可以利用吸收律：

证明

根据 Bezout 定理，设 ，则存在整数 使得 。所以

而

所以

是整数。

题目

设 是一个整系数多项式，是整数，若对于任意不等于 的整数 ，都有 ，证明：。

证明

因为 ，所以 ，所以 。又因为 可以是任意大，所以只能有 ，也就是 。

题目

设 表示 的最小公倍数。证明：对于任意 ，存在无穷多正整数 ，使得 。

证明

设 ，则

根据 Dirichlet 定理，存在无穷多素数 满足 且 。对于任意这样的素数 ，因为 ，所以 。因为 中必存在一个数 满足 ，且 ，所以 。因此，

也就是 。因此，存在无穷多正整数 使得 。

题目

求所有的素数 ，使得 都是完全平方数。

解答

设 。

因为 且 ，所以 ，所以 或 。

显然 且 都是奇数，所以 或 ，所以 。同理，。

因为 ，所以 ，又因为 ，所以 。同理可得，。

将 代入，可以得到 和 ，两式相加后整理配方，就得到：

容易得到唯一可能的解是 ，从而必有 。验证可知 都是完全平方数，所以 是唯一的解。

题目

求出所有边长为整数，且周长等于面积的三角形。

解答

设三角形的边长分别是 ，根据周长等于面积的条件和海伦公式可以得出：

设 ，则 都是正整数，并且满足 。

因为 ，所以 是偶数，同理 和 也是偶数，所以 要么都是偶数，要么都是奇数。根据原方程可以得到 ，所以只可能 都是偶数。设 ，则得到

根据问题（13）的解答，我们可以得到所有的 是：

从而根据 可以得到所有的 是：

题目

求出所有长宽高都是整数，且棱长之和等于体积的长方体。

解答

设长宽高分别是 ，则有

不妨设 。我们用反证法证明 。假设 ，原方程可变形为：，所以 ，所以

由原方程可得

这就得到了矛盾。因此 。

接下来只需要枚举有限的可能性即可。最终我们得到所有的 是：

题目

求下列方程的正整数解：

解答

我们首先证明 ，如果 ，则

设 ，则 且 ，所以只能有 ，矛盾。

因为 ，所以 。若 ，则因为 ，又因为 ，所以 ，即 ，矛盾。所以 。

当 时，，无解。

当 时，，容易得到解 。

综上所述，方程 的正整数解为 。

题目

若 是大于 4 的合数，证明：。

证明

设 ，其中 是 的最小质因数，则 。

若 ，则 中包含 和 ，所以 。

若 ，则 。因为 ，所以 ，所以 ，因此 中包含 和 ，所以 。

题目

是正整数，证明：

1. 不是完全平方数。
2. 不是完全平方数。
3. 不是完全平方数。

证明

1

容易证明 ，所以 不是完全平方数。

2

显然

接下来对 的奇偶性进行讨论：

如果 是奇数，那么 ，这就意味着，要使 是完全平方数，必须 都是完全平方数，这显然不可能。

如果 是偶数，那么设 ，则 。显然 ，所以要使 是完全平方数，必须 都是完全平方数，这显然不可能。

题目

设 为整数， 且 为奇数，请证明：

证明

令 。我们首先证明 不含任何奇素因子。假设存在奇素数 ，则 且 。显然 ，否则 ，产生矛盾。因此 在模 下的乘法阶 存在。

由 可知 ；由 可得 ，故 。因为 是奇数且 ，所以 必为奇数。由于 是奇数且 ，可知 。

既然 ，则有 。然而已知 ，联立可得 ，即 。这与 是奇素数矛盾。因此 不含任何奇素因子，故 （）。

接下来确定 的值。若 为偶数，则 和 均为奇数，故 为奇数。结合 ，得 ，即 。

若 为奇数，则 和 均为偶数，故 ，即 。考察模 的情况：若 ，则 ，故 ；若 ，因 为奇数，，则 ，故 。无论哪种情况，。因此 ，即 。

题目

证明：若素数 和正整数 满足 ，则 。

证明

根据费马小定理，，所以 。

。不难证明：，且。因此，。

题目

若 互素，证明：。

证明

用反证法，我们要证明：

1. 不可能存在奇素数 ，使得 且 。
2. 不可能成立。

假设存在奇素数 ，使得 且 。

那么就有 ，所以 。

又因为 互素，所以 或 ，不管哪种情况，都与 矛盾。

假设 且 ，那么类似地可以得到 ，所以 ，又因为 互素，所以 或 ，不管哪种情况，都与 矛盾。

题目

求以下方程的非负整数解：

提示：唯一解是 。

解答

不妨设 。

若 ，显然无解。

若 ，则 。mod 5 可知 ，据此可得到一组解 。

接下来证明 时无解。

首先证明 ，因为若 ，则：，则 ，矛盾。

所以 ，又因为 ，所以 ，即 ，所以 。

原方程可化为：

mod 3 分析可知：

所以 要么是 ，要么是 ，接下来分类讨论很容易得到无解。